1队列服务质量评估

        通过引入排队系统，定义系统中各项业务流程的产生和业务服务模型，描述工作项产生规律和服务规律的概率来计算系统的性能。

在对排队进行分析时，为了便于分析，经常做一些简化假设。对一个排队系统，若满足以下三个条件：

排队系统能够进入统计平衡状态；

服务员的忙期与闲期交替出现，即系统不是总处于忙的状态；

系统中任一顾客不会永远等待，系统也不会永无顾客到达。

        则下列Little公式成立（排队论中的通用公式）：

1.1w = λTw  

        我们知道一个顾客的平均排队等待时间是Tw，且顾客是以平均速率λ到达，所以在时间Tw时间内有λTw个顾客到达，w表示排队等待服务的平均顾客数量，所以有：w = λTw 

1.2q = λTq

        系统中的平均顾客数（包括等待的和正在被服务的顾客）等于顾客的平均到达速率乘以一个顾客在系统中花费的平均时间。

1.3Tq = Tw+Ts

        一个顾客在系统中花费的时间，就是它等待服务的时间加上被服务的时间。            

        工作项池的过程相对于M/M/N队列模型，如下图所示：

 

        即在该队列系统的工作项产生为泊松流，到达速率为λ，有N个服务员，每个服务员的服务速率为μ，服务规则为FCFS。所有的服务员共享一个公用的队列。该队列是一个生灭过程模型，其生灭速率为：

                         λk = λ，       k = 0,1,2,   …        

                          μ = N μ       k ≧ N 

        根据的生灭过程特点，可以得到下面在M/M/N队列中的常用公式。因此系统中的平均工作项数量q = Nρ+ ρη0 (Nρ)N/N!(1-ρ)2

        令随机变量M表示“忙”服务员的数量，W = E[M] = Nρ = λ/μ 

        所以，任意一个服务员的利用率ρ= λ/（Nμ）

        在多服务员系统中的little公式：   

     ρ = λTs/N ，     u = λTs = ρN     ,   q = w + ρN 

        一个工作项在队列中等待的概率，亦即所有服务器都忙的拥塞概率，可以如下表示：

        P[排列] = η0 (Nρ)N/N!(1-ρ) 

        其中η0的表达式如下：

2系统性能建模

        业务集中系统，可以采用M/M/n 模型来描述，即客户是泊松分布，服务时间为负指数分布，多台、无限容量、无限源、先到先服务的排队系统模型。则根据排队论可以得到以下几个指标：

2.1顾客在系统中的时间=等待时长+服务时长

2.2系统的平稳状态

        系统的平稳状态是指：当排队系统运行一段时间后，系统进入正常的平衡状态（简称为稳态），此时，队长分布、等待时间分布等都和系统所处的时刻无关。系统处于稳态时的利特尔公式：Ld= λWd利特尔公式也是普遍成立的，已知其中任两个量，可以求出另一个量利特尔公式的分解：

Ld = λWd = λ(Wq + h ) = Lq + Ln

Lq = λWq 

Ln = λh

        其中：Wq是顾客的平均排队等待时间；Lq是排队等待的平均队长；h是顾客的平均服务时长；Ln是同时接受服务的平均顾客数(即服务台平均占用数)

2.3流程的生灭过程

        爱尔朗分布实际上是k个独立同分布的负指数分布随机变量的和的分布，即k个服务台的串联,每个服务台的服务时间相互独立，且平均服务时长均为1/kμ（期望值）,则一个流程走完这k个节点所需服务时间就服从该分布

2.4业务系统对外界而言属于生灭服务系统

        满足生灭过程的条件：

输入过程和服务过程具有平稳性、无记忆性和普通性

服务台是独立的、相同的、并联的

        泊松输入过程和负指数服务时长具有这些性质：

可以用马氏链来描述系统的状态转移

这种系统称为生灭服务系统，一般用M/M/n表示，又称为标准服务系统；

标准服务系统的形式很多，但都是基于生灭方程，关键是找出λj、μj的不同表达式，将它们代入生灭方程，确定各状态出现的概率，达到调整服务系统的目的。

3主要度量指标

3.1队长和排队长

        通常都是随机变量，而且分布不易得到，因此一般考虑其均值和方差等数字特征

3.2顾客最关心的指标

        排队时间、逗留时间、随机变量

3.3忙期和闲期

        服务系统所关心的随机变量指标，主要反映系统的服务强度。忙期和闲期交替出现。

        在损失制和混合制服务系统中，还关心诸如顾客损失率、服务强度等指标解排队问题的目的，是研究系统的运行效率，估计服务量，确定系统参数的最优值，以决定系统结构是否合理，研究设计改进措施等。达到此目的的首要任务是研究数量指标的概率规律

业务量

        令从顾客源来的顾客到达率为λ，每个服务台的服务率为μ，则有λj = λ, j = 0,1, ... , n–1; λn=0，μj = jμ, j = 0,1, ... , n

        将λj, μj代入生灭方程，得

        式中无量纲量ρ=λ/μ称为业务量(traffic) ；表示单位时间内要求系统提供的服务强度；λ和μ的单位一致；用爱尔朗作为业务量的单位(Erl)

        系统的质量用顾客的损失率来度量，有两种度量方法按时间计算的损失率pn—单位时间内无可用服务台的概率按顾客计算的损失率B —单位时间内损失的顾客数与到达顾客数之比在本系统中有B=pn=En(ρ)，称为爱尔朗损失公式。

 

3.4服务台利用率与服务台数量的关系η-n图

        当给定n和B后，系统所能承担的业务量ρ可用爱尔朗公式求出，从而可计算出服务台利用率

η= ρ(1-B)/n

        其中：

 表示平均被占用的服务台数。

        则η-n的关系如下图：

 

        因此可以得到：

B不变时，η随n 增加；

n不变时，η随B 增加；说明效率与质量是矛盾的；

η具有边际递减规律

η越大，系统抗过负荷能力越差

3.5系统过负荷特性α-B图

        过负荷指系统加入的业务量A′超过给定服务质量所能承担的业务量A

        过负荷率α用过载业务量与标准应承担业务量的比值表示，即

α= (A′-A)/A= ΔA/A

En(A) = B, En(A′) = B′

 

        由图可见，在同样标准的服务质量和同样的过负荷率下，大系统的质量劣化严重；效率与可靠性是矛盾的

3.6平均逗留队长

 

3.7平均排队长

 

3.8平均逗留时长

 

3.9平均排队时长

 

3.10服务台平均占用数

 

3.11服务台利用率